د - در خطوط مثلثاتى كمان 60 درجه كه متمم 30 درجه است اختلافات بشرح ذيل است : ه - در توابع مثلثاتى كمان 90 درجه فقط در دو تابع كه مساوى يك مىباشد 60 گذاشته شده و گرنه بقيه مساوى است و كمان 90 درجه عكس كمان صفر بود كه در جايى كه آنجا سينوس صفر ميشد اينجا يك است و در آنجاييكه كسينوس يك ميشد اينجا صفر است . توابع مثلثاتى در روش ابو الوفا و بطلميوس در تحويل بهم چنين است كه چون روش ابو الوفا ضربدر 60 شود روش بطلميوس پيش ميآيد و چون روش بطلميوس به 60 تقسيم شود روش ابو الوفا بدست ميآيد و هر دوى اين دوگونه روش از نظر تناسب دو شعاع يك اندازه است فقط تفاوت اين است كه در روش بطلميوس عدد طولانىتر مىشود و در روش ابو الوفا كوتاهتر . بزرگترين جايى كه اين اختلاف چشمگير مىشود در سكانت و كسكانت است كه علم جهانى روش ابو الوفا را برگزيد و روش بطلميوسى مطرود گشت . اما اين ظل كه در سطح دايره گسترده است غير از ظل مثلثاتى است كه مماس با دايره و موازى محور سينوسهاست و تا اين گره باز نشود نميتوان گفت كه مثلثات در قرن چهارم ساخته شد و اگرچه كارادوو ميگويد مثلثات مسطحه هم كار مسلمانان است ولى چگونه و به چه راه آن را بيان داشتند ؟ گويا اين كار را به عهده ديگرى گذاشته‌اند . اشكال مزبور سالها در ذهن من بود و مرا ميآزرد و پس از آنكه كتاب قانون مسعودى بدستم رسيد . از بركت آن كتاب مسئله حل شد . ظل مثلثاتى خطى مماس با دايره بود و حال آنكه ظل شاخص در سطح دايره خطى است كه برحسب اختلاف ارتفاعات خورشيد آن خط يك نقطه دايره را قطع مىكند و از خارج دايره حركت كرده بدرون آن ميرسد چون مقصود تناسب ظل و جيب است از اينرو آمدند تناسبى ما بين ظل و ظل تمام با ظل گسترده و ظل سرنگون قائل شدند و جيب و جيب تمام هم كه قبلا معلوم شده بود در دايره قرار گرفت و نسبتهاى مثلثاتى درست شد و بنابراين مثلثات را ايرانيان در قرن